Als nächstes wollen wir uns mit Funktionen beschäftigen und zwar Funktionen in einem

Argument, das heißt Funktionen der Gestalt von einer Dimension in R, in einer Dimension

in R oder von den komplexen Zahlen in die komplexen Zahlen.

Am Ende der Vorlesung werden wir uns auch noch mit höhere Dimensionen an Funktionen

beschäftigen, das heißt wo hier jetzt ein N und da ein N steht, aber zuerst bleiben

wir mal bei diesem Setting hier. Einer der zentralen Begriffe wird jetzt hier die

Stetigkeit sein und dann in späteren Vorlesungen auch die Differenzierbarkeit.

Das heißt wir haben jetzt Funktionen von dieser Form, wobei df der

Definitionsbereich von f ist und immer eine Teilmenge des R ist und später

eventuell auch die komplexen Zahlen. Aber wir beginnen uns im größten Teil mit den

reellen Zahlen. Normalerweise ist der Definitionsbereich

entweder ganz R oder entweder ein offenes oder abgeschlossenes Intervall von dieser

Form und manchmal lässt man auch zu, dass entweder a oder b hier unendlich oder

minusendlich ist. Wir haben uns mit Folgen von Zahlen beschäftigt und aus

dieser Idee von Folgen von Grenzwerten ergibt sich eigentlich auch sofort schon diese

Fragestellung, was macht man eigentlich mit Funktionen, wenn man sich Lücken im

Definitionsbereich nähert. Also zum Beispiel wir haben jetzt hier eine Funktion, die sei jetzt mal so

definiert und zwar auf a und b und b ist gerade nicht drin. Ich mach es mal mit so einem

runden Krängel hier. Aus a und b sind beide jetzt hier nicht drin.

Jetzt kann man sich ja fragen, was passiert für x immer näher an b mit f von x.

Und das wird uns dann zu dem Objekt führen, nämlich dem Grenzwert von f von x für x

geht gegen b. Und anschaulich ist das dann der Wert von diesem roten Krängel hier.

Der y-Achsenwert. Wenn b jetzt hier plusendlich ist, also jetzt b kleinerendlich und b ist gleich plusendlich,

dann meint man damit jetzt hier eine Funktion. Zum Beispiel macht die vielleicht irgendwas so der Art.

Und was ist jetzt das Verhalten von f von x für x groß.

Das führt dann zu dem Begriff Grenzwert von f von x für x gegen unendlich.

Gegen plusendlich, vielleicht ums konkrete hinzuschalten. Also das ist das was hier so passieren

soll. Das ist die Motivierung davon. Und ich habe es schon so ein bisschen angedeutet.

Am interessantesten sind natürlich Grenzwerte für Punkte, die nicht im Definitionsbereich liegen.

Aber das muss nicht so sein. Aber jetzt nähen wir an, dass dieses x Stern, diese feste Stelle x Stern,

der wir uns nähern, dass die nicht in df liegt. Jetzt ist aber die Frage, was kann man eigentlich machen?

Die Funktion ist jetzt nur hier definiert. Jetzt legen wir x Stern mal hier drauf.

Was ist denn der Limes für x gegen x Stern? Was soll das bedeuten? Wir sind aktuell nur bei ganz formalen Begriffen.

Was soll denn der Grenzwert für x gegen x Stern sein von f von x?

Und hier haben wir jetzt ein Problem, weil wir eine Lücke haben und wir kommen nicht an x Stern an.

Also das alles ist hier so ein bisschen intuitionistisch, was ich jetzt hier gerade mache.

Das heißt, was für Punkte x Stern sind denn zulässig, um für diese Art Grenzwert hier definieren zu können?

Dafür brauchen wir jetzt ein Objekt, nämlich wieder einen Häufungspunkt.

Diesmal aber nicht ein Häufungspunkt einer Folge, sondern ein Häufungspunkt einer Menge.

Ein Häufungspunkt einer Menge ist jetzt so definiert. Diese Menge ist jetzt einfach eine Teilmenge der reellen Zahlen.

Und ein Punkt x Stern aus R, aber nicht notwendig in M, heißt Häufungspunkt von M.

Also nicht unbedingt x Stern Element M. Gerade die interessanten Fälle sind die, wo x Stern nicht in M ist.

Also die Punkt x Stern heißt Häufungspunkt von M, wenn es eine Folge gibt aus M, die aber nicht gleich x Stern gewählt werden darf.

Also eine Folge von Punkten ohne x Stern, sodass diese Folge den Grenzwert x Stern hat.

Und da gibt es noch eine äquivalente Charakterisierung.

Man kann zeigen, dass diese beiden Charakterisierungen identisch sind, wenn es für jedes Epsilon größer 0 ein Element x gibt.

Man könnte das jetzt hier mit so einem kleinen Index versehen.

Ich darf jetzt hier x Epsilon schreiben, weil dieses x von Epsilon abhängt.

Also wenn es hier im Epsilon einen x Epsilon gibt, aber das darf nicht gleich x Stern sein, sodass x minus x Stern Abstand kleine Epsilon hat, aber x Epsilon wirklich in M drin liegt.

Okay, und im uneingeglichen Fall, das heißt x Stern ist gleich plus und endlich oder x Stern ist gleich minus und endlich, da brauchen wir jetzt hier nichts zu modifizieren, weil wir wissen, was uneingegliche Grenzwerte sind.